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二进制索引(Fenwick)树是一种数据结构,为实现动态累积频率表提供了高效的方法。


这种Fenwick树数据结构使用了许多位操作技术。在这个可视化中,我们将使用Fenwick树这个术语来指代这种数据结构(通常缩写为'FT'),因为二进制索引树的缩写'BIT'通常与常见的位操作相关联。


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假设我们有一个整数多重集s = {2,4,5,6,5,6,8,6,7,9,7}(不一定排序)。s中有n = 11个元素。假设我们将要使用的最大整数是m = 10,我们从不使用整数0。例如,这些整数代表学生(整数)的分数范围在[1..10]。注意nm无关。


我们可以通过一个简单的O(n)时间循环(回忆计数排序的第一次计数过程)从s创建一个频率表f。然后我们可以使用类似于DP 1D前缀和的技术在O(m)时间内从频率表f创建累积频率表cf,例如,在下表中,cf[5] = cf[4]+f[5] = 2+2 = 4,然后cf[6] = cf[5]+f[6] = 4+3 = 7


索引/分数/符号频率 f累积频率 cf
0-- (忽略索引0)
100
211
301
412
524 == cf[4]+f[5]
637 == cf[5]+f[6]
729
8110
9111
10 == m011 == n

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有了这样的累积频率表cf,我们可以执行范围求和查询:rsq(i, j),以返回索引ij(包含)之间的频率之和,以高效的O(1)时间,再次使用DP 1D前缀和(即,包含-排除原则)。例如,rsq(5, 9) = rsq(1, 9) - rsq(1, 4) = 11-2 = 9。由于这些键:5、6、7、8和9代表分数,rsq(5, 9)意味着在5到9之间得分的学生总数(9)。


索引/分数/符号频率 f累积频率 cf
0-- (忽略索引0)
100
211
301
412 == rsq(1, 4)
524
637
729
8110
9111 == rsq(1, 9)
10 == m011 == n

Pro-tip 2: We designed this visualization and this e-Lecture mode to look good on 1366x768 resolution or larger (typical modern laptop resolution in 2021). We recommend using Google Chrome to access VisuAlgo. Go to full screen mode (F11) to enjoy this setup. However, you can use zoom-in (Ctrl +) or zoom-out (Ctrl -) to calibrate this.

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动态数据结构需要在查询之间支持(频繁的)更新。例如,我们可能会更新(增加)分数7的频率从2 → 5(例如,又有3个学生得分7)并更新(减少)分数9的频率从1 → 0(例如,之前得分9的1个学生被发现抄袭作业,现在被罚为0,即,从分数中移除),从而更新表格为:


索引/分数/符号频率 f累积频率 cf
0-- (忽略索引0)
100
211
301
412
524
637
72 → 59 → 12
8110 → 13
91 → 011 → 13
10 == m011 → 13 == n

用纯数组基础数据结构来实现这个动态累积频率表将需要O(m)的更新操作。我们能做得更好吗?


Pro-tip 3: Other than using the typical media UI at the bottom of the page, you can also control the animation playback using keyboard shortcuts (in Exploration Mode): Spacebar to play/pause/replay the animation, / to step the animation backwards/forwards, respectively, and -/+ to decrease/increase the animation speed, respectively.

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介绍:Fenwick 树数据结构。


在这个可视化中,Fenwick 树有三种使用模式。


第一种模式是默认的 Fenwick 树,它可以在 O(log n) 中处理点更新 (PU)范围查询 (RQ),其中 n 是数据结构中最大的(整数)索引/键。请记住,数据结构中实际的键数由另一个变量 m 表示。我们将这种默认类型简称为 PU RQ,即点更新范围查询


这种巧妙的整数键排列思想最初出现在Peter M. Fenwick 的 1994 年论文中。

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您可以点击'创建'菜单来创建一个频率数组f,其中f[i]表示键i在我们原始键数组s中出现的频率。


重要提示:这个频率数组f不是原始键数组s。例如,如果您输入{0,1,0,1,2,3,2,1,1,0},这意味着您正在创建0个一,1个二,0个三,1个四,2个五,...,0个十(基于1的索引)。在这个例子中,最大的索引/整数键是m = 10,就像在之前的幻灯片中一样。


如果您有原始数组s,包含n个元素,例如,从之前的幻灯片中的{2,4,5,6,5,6,8,6,7,9,7}(s不需要排序),您可以进行一次O(n)的遍历,将s转换为n个索引/整数键的频率表f。(我们将在不久的将来提供这种替代输入方法)。


您可以点击'随机化'按钮来生成n个键[1..n]的随机频率。


点击'开始'来迭代调用nupdate(i, f[i])操作。(我们将在不久的将来提供一个更快的构建FT功能)。

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尽管从概念上讲,这个数据结构是一个,但它将被实现为一个名为ft的整数数组,范围从索引1到索引n(我们牺牲了我们的ft数组的索引0)。上面显示的Fenwick树的(黑色轮廓和白色内部)顶点中的值是存储在基于1的Fenwick树ft数组中的值。


目前,这个Fenwick树的边还没有显示出来。树有两个版本,查询树和更新树。

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底部(蓝色内部)顶点内的值是频率数组 f 的值。

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在数组ft中索引i存储的值(Fenwick树中的顶点i),即ft[i],是键范围[i-LSOne(i)+1 .. i]的累积频率。在视觉上,这个范围由Fenwick树(查询/查询版本)的边缘显示。


关于LSOne(i) = (i) & -(i)操作的复习,请参见我们的位掩码可视化页面

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ft[4] = 2 存储了键在 [4-LSOne(4)+1 .. 4] 中的累积频率。
(沿着从索引4向上回到索引0的边缘,再加上1个索引)。
这是 [4-4+1 .. 4] = [1 .. 4]f[1]+f[2]+f[3]+f[4] = 0+1+0+1 = 2

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ft[6] = 5 存储了键在 [6-LSOne(6)+1 .. 6] 中的累积频率。
(沿着从索引6向上回到索引4的边,再加1个索引)。
这是 [6-2+1 .. 6] = [5 .. 6]f[5]+f[6] = 2+3 = 5

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函数 rsq(j) 返回从第一个索引 1(忽略索引 0)到索引 j 的累积频率。


这个值是存储在数组 ft 中与 j 相关的子频率之和,关系公式为 j' = j-LSOne(j)。这种关系形成了一个Fenwick树,具体来说,是Fenwick树的'询问树'。


我们将这个公式反复应用,直到 j 为0。


无论 n 的值如何,这个函数的运行时间都是 O(log m)。讨论:为什么?

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我们之前已经看到 ft[6] = rsq(5, 6) 和 ft[4] = rsq(1, 4)。
因此,rsq(6) = ft[6] + ft[6-LSOne(6)] = ft[6] + ft[6-2] =
ft[6] + ft[4] = 5 + 2 = 7。
附注:4-LSOne(4) = 4-4 = 0。

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rsq(i, j) 返回从索引 ij(包含)的累积频率。


如果 i = 1,我们可以像之前那样使用 rsq(j)
如果 i > 1,我们只需要返回:rsq(j) – rsq(i–1)(包容-排斥原理)。


讨论:你理解原因吗?


这个函数也在 O(log m) 中运行,无论 n 如何。讨论:为什么?

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rsq(4, 6) = rsq(6) – [下一张幻灯片...]。
我们之前已经看到rsq(6) = ft[6]+ft[4] = 5+2 = 7。

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rsq(4, 6) = rsq(6) – rsq(3)
我们可以类似地计算出rsq(3) = ft[3]+ft[2] = 0+1 = 1。

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rsq(4, 6) = rsq(6) – rsq(3) = 7 - 1 = 6.
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要更新键(索引)i的频率为vv可以是正数或负数;|v|不一定为一),我们使用update(i, v)


i相关的索引通过i' = i+LSOne(i)v相关,当i < ft.size()时(注意ft.size()m+1(我们忽略了索引0)。这些关系形成了一种叫做'更新树'的Fenwick树结构的变体。


讨论:你理解这个操作以及我们为什么避免索引0吗?


这个函数也以O(log m)运行,无论n如何。讨论:为什么?

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Fenwick 树的第二种模式是可以处理范围更新 (RU),但只能以 O(log n) 处理点查询 (PQ)


我们将此类型缩写为RU PQ

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创建数据并尝试在其上运行范围更新点查询算法。为此类型创建数据意味着插入几个区间。例如,如果您输入[2,4],[3,5],这意味着我们正在通过+1更新范围2到4,然后通过+1更新范围3到5,因此我们有以下频率表:0,1,2,2,1,这意味着有1个0,2个1,3个2,4个2,5个1。

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顶部的顶点显示了存储在Fenwick树中的值(ft数组)。


底部的顶点显示了数据的值(频率表f)。


注意到这种RU PQ类型中使用的Fenwick树的巧妙修改:我们将范围的开始增加+1,但将范围结束后的一个索引减少-1以达到这个结果。

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Fenwick 树的第三种模式是可以同时处理范围更新 (RU)范围查询 (RQ)的模式,其时间复杂度为 O(log n),使得这种类型与具有懒惰更新的线段树相当,后者也可以在 O(log n) 的时间复杂度内进行 RU RQ。

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创建数据并尝试在其上运行范围更新范围查询算法。


创建数据是插入几个间隔,类似于 RU PQ 版本。但是这次,你也可以高效地进行范围查询。

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在范围更新范围查询 Fenwick 树中,我们需要有两个 Fenwick 树。顶部的顶点显示第一个 Fenwick 树的值(BIT1[] 数组),中间的顶点显示第二个 Fenwick 树的值(BIT2[] 数组),而底部的顶点显示数据的值(频率表)。第一个 Fenwick 树的行为与 RU PQ 版本相同。第二个 Fenwick 树用于进行巧妙的偏移,以再次允许范围查询。

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我们有一些涉及此数据结构的额外内容。

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遗憾的是,截至2020年,这种数据结构在C++ STL、Java API、Python或OCaml标准库中尚未提供。因此,我们必须编写我们自己的实现。


请查看以下以面向对象编程(OOP)方式实现的Fenwick Tree数据结构的C++/Python/Java/OCaml实现:
fenwicktree_ds.cpp | py | java | ml


再次强调,您可以自由定制这个自定义库实现以适应您的需求。


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Note that if you notice any bug in this visualization or if you want to request for a new visualization feature, do not hesitate to drop an email to the project leader: Dr Steven Halim via his email address: stevenhalim at gmail dot com.

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新建 - O(m log m)

新建 - O(m)

RSQ(i, j)

更新(i, v)

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multiset s =

前进

or f

arr

arr

=

随机化 f

前进

multiset s =

前进

or f

arr

arr

=

随机化 f

前进

i =
j =

前进

i =

前进

L =
R =

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i =
v =

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L =
R =
delta =
L =
R =
delta =

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前进

关于 团队 使用条款
隐私政策

关于

VisuAlgo最初由副教授Steven Halim于2011年构思,旨在通过提供自学、互动式学习平台,帮助学生更深入地理解数据结构和算法。

VisuAlgo涵盖了Steven Halim博士与Felix Halim博士、Suhendry Effendy博士合著的书《竞技编程》中讨论的许多高级算法。即使过去十年,VisuAlgo仍然是可视化和动画化这些复杂算法的独家平台。

虽然VisuAlgo主要面向新加坡国立大学(NUS)的学生,包括各种数据结构和算法课程(例如CS1010/等价课程,CS2040/等价课程(包括IT5003),CS3230,CS3233和CS4234),但它也是全球好奇心的宝贵资源,促进在线学习。

最初,VisuAlgo并不适用于智能手机等小触摸屏,因为复杂的算法可视化需要大量的像素空间和点击拖动交互。为了获得最佳用户体验,建议使用最低分辨率为1366x768的屏幕。然而,自2022年4月以来,VisuAlgo的移动(精简)版本已经推出,使得在智能手机屏幕上使用VisuAlgo的部分功能成为可能。

VisuAlgo仍然在不断发展中,正在开发更复杂的可视化。目前,该平台拥有24个可视化模块。

VisuAlgo配备了内置的问题生成器和答案验证器,其“在线测验系统”使学生能够测试他们对基本数据结构和算法的理解。问题根据特定规则随机生成,并且学生提交答案后会自动得到评分。随着越来越多的计算机科学教师在全球范围内采用这种在线测验系统,它可以有效地消除许多大学标准计算机科学考试中手工基本数据结构和算法问题。通过给通过在线测验的学生分配一个小但非零的权重,计算机科学教师可以显著提高学生对这些基本概念的掌握程度,因为他们可以在参加在线测验之前立即验证几乎无限数量的练习题。每个VisuAlgo可视化模块现在都包含自己的在线测验组件。

VisuAlgo已经被翻译成三种主要语言:英语、中文和印尼语。此外,我们还用各种语言撰写了关于VisuAlgo的公开笔记,包括印尼语、韩语、越南语和泰语:

id, kr, vn, th.

团队

项目领导和顾问(2011年7月至今)
Associate Professor Steven Halim, School of Computing (SoC), National University of Singapore (NUS)
Dr Felix Halim, Senior Software Engineer, Google (Mountain View)

本科生研究人员 1
CDTL TEG 1: Jul 2011-Apr 2012: Koh Zi Chun, Victor Loh Bo Huai

最后一年项目/ UROP学生 1
Jul 2012-Dec 2013: Phan Thi Quynh Trang, Peter Phandi, Albert Millardo Tjindradinata, Nguyen Hoang Duy
Jun 2013-Apr 2014 Rose Marie Tan Zhao Yun, Ivan Reinaldo

本科生研究人员 2
CDTL TEG 2: May 2014-Jul 2014: Jonathan Irvin Gunawan, Nathan Azaria, Ian Leow Tze Wei, Nguyen Viet Dung, Nguyen Khac Tung, Steven Kester Yuwono, Cao Shengze, Mohan Jishnu

最后一年项目/ UROP学生 2
Jun 2014-Apr 2015: Erin Teo Yi Ling, Wang Zi
Jun 2016-Dec 2017: Truong Ngoc Khanh, John Kevin Tjahjadi, Gabriella Michelle, Muhammad Rais Fathin Mudzakir
Aug 2021-Apr 2023: Liu Guangyuan, Manas Vegi, Sha Long, Vuong Hoang Long, Ting Xiao, Lim Dewen Aloysius

本科生研究人员 3
Optiver: Aug 2023-Oct 2023: Bui Hong Duc, Oleh Naver, Tay Ngan Lin

最后一年项目/ UROP学生 3
Aug 2023-Apr 2024: Xiong Jingya, Radian Krisno, Ng Wee Han, Tan Chee Heng
Aug 2024-Apr 2025: Edbert Geraldy Cangdinata, Huang Xing Chen, Nicholas Patrick

List of translators who have contributed ≥ 100 translations can be found at statistics page.

致谢
NUS教学与学习发展中心(CDTL)授予拨款以启动这个项目。在2023/24学年,Optiver的慷慨捐赠将被用来进一步开发 VisuAlgo。

使用条款

VisuAlgo慷慨地向全球计算机科学界提供免费服务。如果您喜欢VisuAlgo,我们恳请您向其他计算机科学学生和教师宣传它的存在。您可以通过社交媒体平台(如Facebook、YouTube、Instagram、TikTok、Twitter等)、课程网页、博客评论、电子邮件等方式分享VisuAlgo。

数据结构与算法(DSA)的学生和教师可以直接在课堂上使用本网站。如果您从本网站截取屏幕截图或视频,可以在其他地方使用,但请引用本网站的URL(https://visualgo.net)和/或下面的出版物列表作为参考。但请不要下载VisuAlgo的客户端文件并将其托管在您的网站上,因为这构成了抄袭行为。目前,我们不允许他人分叉此项目或创建VisuAlgo的变体。个人使用离线副本的客户端VisuAlgo是可以接受的。

请注意,VisuAlgo的在线测验组件具有重要的服务器端元素,保存服务器端脚本和数据库并不容易。目前,普通公众只能通过“培训模式”访问在线测验系统。“测试模式”提供了一个更受控制的环境,用于在新加坡国立大学的真实考试中使用随机生成的问题和自动验证。


出版物列表

这项工作曾在2012年国际大学生程序设计竞赛(波兰,华沙)的CLI研讨会上和2012年国际信息学奥林匹克竞赛(意大利,锡尔米奥内-蒙蒂基亚里)的IOI会议上展示过。您可以点击此链接阅读我们2012年关于该系统的论文(当时还没有称为VisuAlgo),以及此链接阅读2015年的简短更新(将VisuAlgo与之前的项目关联起来)。


错误报告或新功能请求

VisuAlgo并不是一个完成的项目。Steven Halim副教授仍在积极改进VisuAlgo。如果您在使用VisuAlgo时发现任何可视化页面/在线测验工具中的错误,或者您想要请求新功能,请联系Steven Halim副教授。他的联系方式是将他的名字连接起来,然后加上gmail dot com。

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